Une opération mathématique, pour être juste, doit revenir à l’infini, sans quoi elle sort de la réalité. C’est là le problème fondamental des mathématiques : ce rapport à l’infini n’est pas flagrant. Lorsqu’on dit 1 + 1 = 2, on sait que c’est vrai, mais on ne voit pas en quoi cela aurait un lien à l’infini.

Ce paradoxe s’explique par le fait que l’infini, mathématiquement, s’exprime possiblement par 0. La dialectique du zéro et de l’infini est indissociable de tout processus mathématique.

Prenons une addition. C’est une opération qui concerne des nombres. Ces nombres étant parfaitement définis, ils relèvent d’une négation, car toute détermination est négation. C’est par là qu’on passe pour rejoindre l’infini.

Prenons une opération comme 1 + 4 + 7. Qu’est-ce qui détermine 1, 4 et 7 ? Eh bien qu’ils ne sont pas 2, 5, 6, 8 et 9, etc. On doit donc considérer la contradiction suivante.

1, 4, 7 ● 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, etc.

Or, on fait face au problème suivant. 1 + 4 + 7 = 12 et le souci est que 12 est censé relever, dans la contradiction, de ce qui est l’opposé de 1, 4 et 7. Il faut donc corriger la contradiction, en modifiant la place de 12.

1, 4, 7, 12 ● 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, etc.

On fait alors face à un nouveau problème. On voit qu’on a 10 et 2 dans la liste des nombres. Or, additionnés ils donnent 12. Or, 12 est censé s’opposer à 10 et 2, en étant du côté de 1, 4 et 7.

En quoi est-ce un problème ? Si on a 12 des deux côtés de la contradiction, alors 1, 4 et 7 ne relèvent pas d’une vraie négation, puisque leur combinaison se retrouve également du côté de la contradiction d’où on les a ôtés.

À quoi servirait de « retirer » 1, 4 et 7 d’une liste de chiffres si on obtenait leur résultat tout de même dans cette liste ? Le même résultat est la preuve qu’ils seraient encore dans la « liste », même sous une autre forme.

Ce que l’on découvre ici, c’est la contradiction propre au calcul, qui est « effacée » dans le résultat.

En effet, on a bien 1 + 4 + 7 = 12 = 10 + 2. Cependant, si on regarde, ce qu’on a, c’est graphiquement cela.

On voit tout de suite la différence.

On a bien 12 à chaque fois, mais il existe soit 12 comme qualité (tous les éléments sont réunis), soit 12 comme quantité. C’est la contradiction entre quantité et qualité.

Cela nous permet d’y voir plus clair. En effet, on va distinguer 12 comme quantité et 12 comme qualité.

Reprenons la contradiction.

1, 4, 7, 12 ● 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, etc.

Il est vrai que 1, 4 et 7 additionnés donnent la même chose que l’addition de 10 et 2. Mais dans une addition, on a un résultat comme qualité. L’addition est quantité qui produit une qualité, par le dépassement des éléments initiaux. C’est cela qui fait que 12 est, dans la contradiction, du côté de l’addition, non dans la liste d’où on a retiré 1, 4 et 7.

10 et 2 donnent 12, mais 12 comme quantité, non comme qualité ! C’est l’addition de 1, 4 et 7 qui donnent 12.

Naturellement, on pourrait faire l’addition avec 10 et 2 au lieu de 1, 4 et 7. Mais ici, ce n’est pas le cas et c’est secondaire, en raison de la dignité du réel.

Prenons un exemple pour saisir cet aspect et avoir une vue d’ensemble. On ouvre l’armoire et on retire un pantalon, puis un autre, enfin encore un autre. Du point de vue de l’armoire, on a retiré un pantalon, à chaque fois, mais également trois pantalons au total.

Ce total est essentiel, comme qualité. Si on ne plaçait pas le résultat de l’addition du côté des chiffres de l’addition dans la contradiction, il n’y aurait pas trois pantalons en moins, mais seulement un pantalon, un autre pantalon et un autre pantalon, soit la quantité.

Maintenant, voyons cet aspect suivant. Si on a 9 pantalons en tout, on peut encore en retirer trois autres. Cela fait que le chiffre trois, qu’on pensait « retiré » de l’armoire, peut finalement encore être présent.

Seulement voilà, ce n’est pas le cas, car on a déjà retiré trois pantalons, donc en retirer de nouveau trois aboutirait à six pantalons enlevés. C’est le chiffre 6 qui est alors en jeu, pas le chiffre 3 de nouveau !

On arguera que 3 + 3 = 6.

Oui, tout comme 1 + 1 + 1 +1 +1 + 1 = 6.

Quand on enlève deux fois trois pantalons ou six fois un pantalon, on aboutit à la même chose.

Seulement, la détermination du résultat implique qu’on enlève celui-ci ici de l’armoire (et en fait de la liste des nombres, c’est-à-dire de l’infini).

Il reste un problème, pourtant. Dans 1 + 4 + 7 = 12, on a une addition qui donne 12. Autrement dit, si on a 12, en effet, on n’a plus 1, 4 et 7, qui ont permis d’arriver 12.

On peut les garder, toutefois on a alors 12 décomposé en trois éléments, et donc plus la qualité. Cela reviendrait à une forme telle 10 + 2.

Pour préserver la qualité, il faut faire disparaître 1, 4 et 7, c’est-à-dire les remettre dans la liste des nombres (c’est-à-dire l’infini).

On avait comme contradiction :

1, 4, 7 ● 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, etc.

Ce qui donne la contradiction :

1, 4, 7, 12 ● 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, etc.

Pour amener à la contradiction :

12 ● 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, etc.

Nous avons avancé ! Mais l’addition est une opération qui semble pourtant insoluble, puisque les chiffres (ici 1, 4 et 7) doivent exister pour en fait disparaître. Pour qu’on ait un résultat il faut la suppression des éléments de l’addition, mais on n’a pas le résultat sans ces éléments additionnés ! C’est une contradiction, il faut la saisir.

Si on était en physique, on dirait qu’il y a une transformation matérielle, ce qui s’appelle le temps et explique la différence entre les éléments et le résultat. Mais on est en mathématique et on ne dispose pas du temps.

Quelle est alors la solution ?

La solution est le 0. L’annulation des nombres – 1, 4 et 7 tout comme 12 – signifie leur retour dans la liste infinie des nombres. Là est la nature du 0 en mathématiques : c’est le nexus.

1, 4 et 7 portent l’infini. Mais d’eux-mêmes ils ne vont pas à l’infini, même si on les additionne, les multiplie par eux-mêmes. Ils tendent vers l’infini. Ils relèvent toutefois de l’infini : la matière est inépuisable. En ce sens, ils sont 1, 4 et 7, et ils ne le sont pas.

Ainsi, quand on dit 1 + 4 + 7 = 12, on dit en même temps que 12 – (1 + 4 + 7) = 0.

Si on perd cela de vue, on ne voit pas les deux aspects de la contradiction que forme l’addition – et on rate la dialectique dans les mathématiques.